5.- Demostrar que en un triángulo ABC, sean D,E y F los puntos medios de los lados del triángulo órtico y sean A' B' y C' los puntos medios de los lados BC, AC y AB, respectivamente. Demostrar que A'D, B'E y C'F son concurrentes

Martha Iglesias. Anexo D-8. Tesis de maestría. Sección de problemas nº 3 pág 170

    Si consideramos la mediatriz del lado A'C' del triángulo órtico, sabemos que la bisectriz del ángulo opuesto, < A'B'C', corta a la mediatriz en un punto K que está sobre la circunferencia circunscrita al triángulo A'B'C', es decir sobre la circunferencia de Feuerbach o de los nueve puntos del triángulo ABC.

    El punto K es precisamente el punto medio del segmento determinado por el ortocentro de ABC y el vértice B. Es decir, A', C' y K están sobre la circunferencia de los nueve puntos, determinando por tanto la mediatriz de C'A' un diámetro, del que K es uno de los extremos.

    Es sabido que ese punto K y el punto medio de AC determinan un diámetro de la circunferencia de los nueve puntos (resultado que se utiliza en la demostración de la existencia de la circunferencia de Feuerb.), razón por la que la mediatriz de C'A' pasa por el punto medio de AC (la mediatriz es precisamente una de tres  rectas del ejercicio) y por ello contiene al circuncentro de la circunferencia de los nueve puntos.
 

        Lo mismo sirve para las otras dos rectas, razón por la que las tres se cortan en el centro de la circunferencia de los nueve puntos.
 Solución de Carlos Fleitas "IES Marqués de Santilana", Colmenar Viejo (Madrid)