Solución ofrecida por el editor a partir de varias fuentes.

El punto de Fermat. En un triángulo cualquiera que tenga sus tres ángulos agudos se traza, sobre cada uno de sus lados, un triángulo equilátero hacia fuera del triángulo,como indica la figura. Se une A con H, B con J y C con K. Estas tres rectas concurren en un punto F, desde el que se ve cada lado con un ángulo de 120º. Además, AH = BJ = CK.

Guzmán, M. de (1.995): Para pensar mejor. Pirámide. Madrid (pag 164)

Solución: Sea la figura:

Consideremos el triángulo BKC. Si damos un giro de centro B y ángulo 60º,

BK se transforma en BA

BC se transforma en BH.

Luego BKC se transforma en BAH, y por tanto, KC = AH.

Si el giro lo hacemos con centro en A para el triángulo AKC, este se transforma en ABJ, y KC=BJ, con lo que

hemos demostrado la igualdad pedida, KC=AH=BJ.

Veamos ahora la otra cuestión de los ángulos.

Consideremos el cuadrilátero AKFJ, siendo F, de momento, el punto de intersección de CK con BJ.

Es: <AKF=m, <KFJ=n, <FJA=p, <JAK= 60+a+60, y, m+n+p+60+a+60=360,por ser cuadrilátero.

Además, es debido al giro desde A del triángulo AJB al ACK,

<ACK= <AJB = <AJF =p.

Luego en el triángulo ACK, teemos: <CAK= a +60, <CKA =< FKA= m, y <ACK = p, por lo que:

a+60+m+p =180.

Como era m+n+p+60+a+60=360, tenemos que n+60 + 180 =360, de donde n= <KFJ =120, cqd.

Por otra parte, al ser <CFB=<JFK=120, y <CHB=60, el cuadrilátero CFBH es inscriptible en una circunferncia,

por lo que <CFH= <CBH=60. De esta manera, <CFH=<BFH=60.

Además, por opuestos por el vértice, es <AFK=<CFH=60, y <AFJ=<BFH=60.

Además, es : <JFC= 180- <JFA- < CFH= 180-60-60=60, y por úlimo, tembién es <KFB=60.

Así F, es punto de intersección de los segmentos CK y BJ desde donde se "ve" CH, JC y AJ con 60º,

y por tanto es <HFA = < HFC + < CFJ + <JFA = 180, y F debe ser por tanto de HA, c.q.d.

Así, pues F, sobre debe estar sobre las circunferencias circunscritas a ABK, y CBH, y debe ser su intersección, distinta a B.

Por ota parte, consideremos la siguiente configuración:

.

Si P es interior a ABC y

1.- formamos los triángulos equiláteros AB K , BCH, CAJ,

2.- construimos los equiláteros BPPa, CPPb y APPc,

3.- tenemos que :

el triángulo BPC se transforma en el BPaH, el CPA se transforma en el CPbJ, y el APB en el APcK.

Así, la suma PA+ PB+ PC se transforma en las poligonales APPaH, BPPbJ, CPPcK.

Tal suma será mínima cuando P =F.