Problema 12.
Teorema del círculo de los nueve puntos. En cualquier triángulo, los puntos medios de los lados, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos que unen los vétrices al ortocentro, están en el círculo cuyo radio es la mitad del radio del círculo circunscrito y cuyo centro está en el punto medio del segmento que une el ortocentro al circuncentro.
Soluciñon ofrecida por el editor (30 de junio de 2003)
En el problema 8 se ha demostrado la existencia de la circunferencia de los nuevse puntos.
Los triángulos A'B'C' y C'BA' son congruentes, con lados del mismo valor, por paralelas medis, y ángulos iguales.
Por tanto, el radio de la circunferencia estudiada es igual al radio de la circunferencia circunscrita al triángulo C'BA'.
Si hacemos una traslación del vector que forman los centros de ambas, la primera se tranforma en la segunda.
Si ahora, hacemos una homotecia de la segunda con centro en B y razón 2, se tranforma en la circunferencia circunscrita a ABC:
Así, pues, hemos demostrado la primera parte del problema:
El radio de la circunferencia de los nueve puntos (llamada de Euler o de Feurebach), es la mitad del radio de la circunerencia circunscrita al triángulo.
Luego su diámetro es el radio de la circunscrita.
Consideremos los puntos C' H3 HC, punto medio de AB, pie de la altura sobre el lado AB y punto medio del segmento formado por el ortocentro H y el vértice C. Al ser < C' H3 HC =90º, es C'HC un diámetro de la circunferencia estudiada.
Sea N el centro de la circunferencia de los nueve puntos y O el circuncentro.de ABC. Es OC = 2 NHC, y por ello, OC =C'HC.
Luego al ser OC' (sobre la mediatriz a AB) paralela a C HC (sobre la altura a AB), son OC y C'HC paralelas, y el cuadrilátero C' O C HC es un paralelogramo.
Los triángulos H N HC y HOC, son semejantes por tener tener: H HC y H C sobre la altura, y razón doble, y los segementos N HC y O C paralelos y razón doble. Luego está N tal que H O N están alineados y HO=2HN, o sea, cqd, N está en el punto medio de O H.
Ricardo Barroso Campos Didáctica de las Matemáticas (Universidad de Sevilla)