Problema 5.190.- Hallar en el plano de un triángulo de vértices A₁ A₂ A₃ un punto M tal que la suma de sus distancias a los tres vértices sea mínima.

Sol: en un sistema rectangular sean (a_i b_i ), (i=1,2,3) las coordenadas de los vértices y (x,y) las del punto M buscado. Ha de ser mínima la suma

Anulando las dos derivadas parciales se tiene:

,

Ahora, en lugar de resolver este sistema en x, y, es mejor interpretarlo geométricamente. Poniendo (MA₁)=V₁ , (MA₂)=V₂, (MA₃)=V₃ el sistema anterior expresa la igualdad vectorial

V₁ / |V₁| + V₂ / |V₂| + V₃ / |V₃| = 0 [1]

Y como es unitario cada sumando, el polígono de versores [1] forma un triángulo equilátero. En consecuencia desde el punto M buscado se ven los lados del triángulo A₁ A₂ A₃ bajo un mismo ángulo de 120º, pero si el triángulo tuviese un ángulo A₁≥120º, el punto buscado sería el vértice A₁

Martín, J.A. (1959): Problemas de cálculo diferencial. Edición de autor. Madrid. (p. 335)