Problema nº 20.- Triángulo semejante sobre semejantes.

Dado un segmento ab y un triángulo arbitrario no equilátero jkm, construyamos sobre ab triángulos pab, bqa y abr semejantes a jkm. Entonces pqr es semejante a  jkm.

Solución  Saturnino Campo Ruiz, profesor de Matemáticas del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca) (4 de marzo de 2003)

Solución.-

 

 

 

 

 

 

Las relaciones de semejanza entre los triángulos del enunciado nos llevan a las siguientes relaciones entre sus lados:

     (1);

   (2) y

  (3)

En la figura se observa que los ángulos qbr y par son iguales (iguales a b-a). Veamos si son semejantes los triángulos respectivos. (Un giro de centro r y ángulo brq pone en evidencia la conjetura).

 

 

 

 

 

 

 por (3);

 por (2) y

 por (1).

 

De ahí se sigue que

,

o lo que es igual

 

,

 y los triángulos son semejantes. Se tiene pues otra relación:

 (4) 

De la semejanza de estos triángulos se sigue que tienen igual el ángulo en r, si a éstos les restamos el ángulo arq se obtiene g=bra = qrp. La igualdad de la primera y última de las razones de (4) demuestra que pqr es semejante a abr, pues tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. (Se corresponden br con qr; ar con pr y ab con pq ) ,

 

. C.Q.D.