| Sobre cada lado de un triángulo
cualquiera se construyen 3 cuadrados y se unen los vértices libres formando
tres triángulos más. Las áreas de los nuevos triángulos
son iguales al área del triángulo original: ¿porqué? |
Monzó, O. (1.999): Días 22 y 23 de Noviembre. En Gracia, F. (Coord.) Calendario matemático 1.999, Societat d’Educatió Matemática de la Comunitat Valenciana “Al-Kwarizmi”.
Solución del profesor Jalón (IES Arrabal de Carmona) al Teorema de Cross.
Vamos a demostrar que los triángulos BCJ y CDF tienen la misma área.
Como las bases BC y CD son iguales, bastará con demostrar que las alturas también lo son.
Para ello veremos que los triánglos ICJ y CEF son iguales.
Los ángulos ICJ y ECF son complementarios con JCE, luego son iguales.
JIC y FEC son iguales por ser rectos, luego el tercer ángulo también es igual.
Al ser las hipotenusas iguales por ser los lados de un cuadrado los triángulos son iguales.
Por tanto las alturas son iguales y los triángulos tienen la misma área.
Un razonamiento análogo sirve para el triángulo ABH.
Por un procedimiento análogo demostramos que los triángulos LKJ y BNJ son iguales.
Con lo que al ser iguales las bases y las alturas iguales las áreas también lo son,
y queda demostrado el teorema para los tres triángulos.