Introducción

Si se unen cuatro puntos de un plano de dos en dos por medio de seis rectas distintas, se les llama vértices de un cuadrángulo completo y las rectas son sus seis lados.
1.72 Si en un cuadrángulo completo hay dos pares de lados opuestos que son perpendiculares entre sí, los demás lados serán perpendiculares entre sí de la misma manera. Un cuadrángulo así, ABCH, se llama cuadrángulo ortocéntrico.

Ejercicios
4.- El incentro y los excentros de un triángulo cualquiera forman un cuadrángulo ortocéntrico.
Coxeter, HSM , (1.971) Fundamentos de Geometría.Limusa-Wiley. México Págs 42-43

Solución ofrecida por el editor. 26 de junio de 2003

El cuadrángulo que hay que estudiar es EXA, EXB, EXC, INC.

Tensmos seis rectas:

Lo pedido por Coxeter es demostrar que :EXA EXB es perpendicular a EXC INC, y de manera análoga que EXA EXC lo es a EXB INC, y que EXC, EXB lo es a EXA, INC.

Bastará demostrar una de tales perpendicularidades, puesto que el papel geométrico desempeñado por tales rectas es similar.

Así, consideremos el primer caso. La recta C INC EXC es bisectriz interior de < ACB, por lo que <A C INC =.< B C INC.

Además, al ser la recta EXA C EXB bisectriz exterior del ángulo C, es: < EXB C A = < EXA C B, y, por ello, tenemos que:

< EXB C A + <A C INC =.< EXA C B + < B C INC, y, al sumar entre los cuatro ángulos 180º, se tiene la propiedad.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Unversidad de Sevilla