Solución al problema 4.- Ortocentro
| altura. La altura de un triángulo (correspondiente a un lado) es la recta perpendicular que pasa por el vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro. |
Sea ABC un triángulo acutángulo sean AA' la altura correspondiente al vértice A, y BB`la altura
corresponde al vértice B
Los triángulos AA' C y BB'C son rectángulos y tienen el ángulo en C común, luego
son semejantes, por lo que es: CB'/CA' = CB/CA .
También son semejantes BB'A y CC'A por ser rectángulos y tener el ángulo A común.
Luego es: AC' / AB'= AC/AB.
Si consideramos ahora los triángulos CC'B y AA'B que también son semejantes,
tenemos: BA'/BC' = BA/BC
Luego tenemos, según el teorema de Ceva, problema 37 de la página WEB,
| Teorema de Ceva. Sean a, b c, los vértices de un triángulo y tres puntos a' de bc, b' de ca, y c' de ab sobre los lados de este triángulo. Entonces las tres rectas aa', bb', y cc' son concurrentes si y sólo si se tiene: a'b / a'c b'c / b'a c'a/ c'b = - 1 |
Es: (A'B)/(A'C) (B'C)/(B'A) (C'A)/(C'B) , y, reagrupando nos queda:
A'B/A'C B'C/B'A C'A/C'B= A'B/C'B B'C/A'C C'A/B'A,
de lo que se deduce que es:
A'B/C'B B'C/A'C C'A/B'A= AB/CB BC/AC CA/BA = (-1) (-1) (-1) = -1
Por ello, las alturas AA' BB' y CC' se cortan en un punto H, ortocentro del triángulo acutángulo.
Ricardo Barroso