Problema nº 7.-124 Recta de Euler: Demostrar que en un triángulo arbitrario, el punto de intersección de las alturas, el punto de intersección de las medianas y el centro de la circunferencia circunscrita, están situados en una recta. Esta recta se llama recta de Euler.

Solución.-

Sea OMN el triángulo formado por el circuncentro O y los puntos medios M y N de los lados a y b. Este triángulo es homotético al triángulo BAH formado con el punto H de intersección de las alturas, por el paralelismo de sus lados. La correspondencia entre puntos homólogos es M àA, N àB, O àH. El centro de la homotecia es el punto G de corte de BN  con AM, el baricentro del triángulo. Los puntos homólogos O y H están alineados con el centro G de la homotecia. Además los  puntos M’ y N’ simétricos de M y N  respecto de G, según la propiedad de las medianas son los puntos medios de los segmentos AM y BN, en consecuencia, O’ simétrico de O respecto a G es el punto medio de GH. En conclusión: el baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos puntos se llama recta de Euler.