Problema 8
125. Circunferencia de Euler: Demostrar que en un triángulo
arbitrario, las bases de las medianas, las bases de las alturas, y también
los puntos medios de los segmentos que unen el punto de intersección
de las alturas del triángulo con sus vértices, están situados
en una circunferencia. Esta maravillosa circunferencia se llama a veces circunferencia
de Euler
Solución del editor
Sea ABC el triángulo. Sean A' el punto medio de BC, B' el punto medio de AC,
Ha el punto medio de H A, y Hb el punto medio de HB.
Es CA'B' semejante a CBA, de razón 1/2, y HHbHa semejante a HBA de razón 1/2, luego A'B' // HbHa y de igual longitud 1/2BA.
Ademas. los triángulos AHa B' y AHC son semejantes de razón 1/2, y por otra parte, BHbA' lo es a BHC y de razón 1/2.
Luego también es Ha A' // Hb B' y de longitud iguales ambos a 1/2 HC.
Además, al ser CH perpencicular a BA, será Ha B' perpendicular a A'B'.
Se concluye pues, que A'HbHaB' es un rectángulo, y está inscrito
en la circunferencia de centro N, el corte de las diagonlaes A' Ha y B' Hb y radio la mitad de sus longitudes.
Consideremos ahora esta figura, en la que se han incorporado los nueve puntos:
A' H1 Ha es ángulo recto, y A'Ha diámetro, por lo que H1 pertenece a la circunferencia.
B'H2Hb es ángulo recto, por lo que al ser B'Hb diámtero, H2 también pertenece a la circunferencia.
Los triángulos HHcHa y HCA son semejantes de razón 1/2, por lo que Hc Ha //CA . y
los triángulos C Hc A' y CHB también lo son de razón 1/2. Luego HcA'//HB; al ser CA perpendicular a HB,
es A' Hc Ha un ángulo recto, y por ser A'ha diámetro, Hc también está en la circunferencia.
Tengamos en cuenta ahora C'. Los triángulos BA'C' y BCA son semejentes de razón 1/2. Por ello, A'C'//CA.
Los triángulos AHaC' y AHB son semejantes de razón 1/2 ,luego HaC' // HB
De ambas propiedades, y al ser HB perpendicular a CA, será Ha C' A' recto, y al ser Ha A' diámetro,
C' también pretenece a la circunferencia.
Queda por "ver" que el punto H3 también lo es.
Es Hc B'// HA y B'C'//CB y al ser CB perpendicular a HA, será el triángulo Hc B' C' rectángulo en B',
por lo que HcC' es también diámetro. Pero C' H3 Hc es ángulo recto, y, cqd, H3 también está en la circunferncia.
Ricardo Barroso Campos
Didáctica de las Matemáticas
Universidad de Sevilla