GENERALIZACIÓN DE LA RECTA DE EULER

Se trata de una generalización de la recta de Euler obtenida debilitando las hipótesis.

Consideraremos un triángulo cualquiera ABC, los puntos medios de los de los lados CA y BC (M y N), y las rectas arbitrarias r1 y r2 que pasan por N y M, respectivamente.

Si consideramos ahora la homotecia de centro G, baricentro del triángulo, y razón -2, observamos:

• N se transforma en el vértice A (por la propiedad métrica de las medianas y el baricentro).
• La recta r1 se transforma en la recta paralela r1' que, además, pasa por A.
• M se transforma en el vértice B.
• La recta r2 se transforma en la recta paralela r2' que pasa por B.
• El punto C1, punto de intersección de las rectas r1 y r2, se transforma en otro punto que tiene que estar sobre las rectas homotéticas r1' y r2'; es decir, el punto C1 se transforma por la homotecia considerada en el punto C2, punto de intersección de las rectas r1' y r2'.

Se obtiene como consecuencia que los puntos C1, G y C2 están alineados, que G es interior al segmento C1C2 y que GC2 = 2*C1G.

En el caso clásico las rectas r1 y r2 son las mediatrices de los lados correspondientes siendo entonces r1' y r2' alturas del triángulo y se obtiene la recta de Euler. En el caso que hemos considerado, el resultado se puede expresar del siguiente modo:
Si en un triángulo ABC consideramos dos rectas arbitrarias r1 y r2 que pasen por los puntos medios de dos lados (N y M), y las rectas paralelas a ellas que pasan por los vértices A y B (r1' y r2'), se cumple que los puntos de intersección de r1 y r2 (C1) y de r1' y r2' (C2) están alineados con el baricentro del triángulo, siendo éste interior al segmento C1C2, y se cumple GC2 = 2*C1G.

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