Desde los vértices A y B de un cuadrado ABCD se trazan en el interior del cuadrado unas líneas rectas que forman ángulos de 15º con AB. Estas dos rectas se cortan en M. Demostrar que el triángulo DCM es equilátero.

Ramón Bertel Palencia, Profesor de la Universidad de la Guajira (Colombia).

 

Argumentos en la Construcción Geométrica:
  1. Sea ABCD tal cuadrado.
  2. Sea M el punto al interior del cuadrado tal que las rectas AM y BM forman ángulos de 15 0 con respecto a AB respectivamente.
  3. Se traza la mediatriz del lado AB = DC del cuadrado.
  4. Se trazan las diagonales AC y DB
  5. Se traza el triángulo DCM .

Probemos que el triángulo DCM es equilátero.

Argumentos en la Demostración :

  1. Sea " a " cualquier lado del cuadrado.
  2. El triángulo ABM es isósceles por tener los ángulos de la base AB iguales a 150 .
  3. De lo anterior se infiere que M está sobre la mediatriz de AB = DC que es la misma bisectriz del ángulo < AMB, y por lo tanto el segmento PB = PA = a / 2
  4. El ángulo < CBM = 900 – 150 = 750 .
  5. El ángulo < DAM = 900 – 150 = 750 .
  6. En el triángulo BPM se tiene que: Cos(150) = ( a / 2 ) / BM, de donde BM = ( a /2 ) / Cos(150) .
  7. Los triángulos DAM y CBM son semejantes por el criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Por lo tanto DM = CM , basta probar que DM = a
  8. El ángulo < ABD = 450 . Por lo tanto el ángulo < MBD = 450 – 150 = 300
  9. La diagonal DB = a (Teorema de Pitágoras)
  10. Aplicamos Ley del coseno en el triángulo DBM, para probar que DM = a . Veámoslo, (DM)2 = ( a ) 2 + ( BM ) 2 – 2 ( a ) (BM) Cos (300 ) remplazando BM (paso 6 ) y teniendo en cuenta que: Cos (150 ) = Cos (450 - 300) = Cos (450 ) Cos (300 ) + Sen (450 ) Sen (300 )
    11.

    Cos (300 ) = () / 2 y Cos (450 ) = Sen (450 ) = ( ) / 2

    (Cos (450 ) Cos (300 ) + Sen (450 ) Sen (300) )2 = (8 + 2) / 16 = Cos2 (150)

    Cos (450 ) Cos (300 ) + Sen (450 ) Sen (300 ) =() / 4 = Cos (150)

    (DM)2 = ( a ) 2 + ( ( a /2 ) / Cos(150) ) 2 – 2 ( a ) ( ( a /2 ) / Cos(150) ) ( / 2 )

    (DM)2 = 2 a2 + (a2 / 4) / ((8 + 2) / 16) - ( a2 ) ( / 2 ) / (() / 4) Factorizamos a2 :

    (DM)2 = a2 ( 2 + 4 / ( 8 + 2) – 2 / ( ) ) Aplicando el conjugado de cada denominador para racionalizar se llega a que : ( 2 + 4 / ( 8 + 2) – 2 / ( ) ) = 1 , por lo tanto DM = a con lo que queda demostrado que DM = CM = a = DC.