"Sea un triángulo ABC. Sea Q punto interior del triángulo ABC, de manera
que tenemos:

< QAB= < CAQ=10º         < ABQ= 20º      < QBC= 100º.


Calcular < ACQ"

Solución del profesor

Ignacio Larrosa Cañestro
IES Rafael Dieste
A Coruña (España)
ilarrosa@mundo-r.com

Llamando a, b y c a los lados del triángulo y prolongando el segmento BQ
hasta cortar al lado AC en P, tenemos que:

a=BC=PB=AP

puesto que los triángulos ABP y PBC son isósceles (ver figura).

Aplicando el Teorema del seno, tenemos:

Triang. BPC:  a/sen(40º) = PC/sen(100º)     (#1)

Triang. CQP:  QC/sen(40º) = PC/sen(140º - t) = PQ/sen(t)   (#2)

Triang. AQP:  AQ/sen(140º) = a/sen(30º) = PQ/sen(10º)   (#3)

Dividiendo #3 entre #2,

AQ/QC = 2a*sen(140º - t)/PC = sen(t)/sen(10º)      (#4)

De #1, PC = a*sen(100º)/sen(40º), que sustituyendo en #4 da

sen(t) = 2sen(40º)sen(140º-t)sen(10º)/sen(100º)

sen(t) = 2sen(40º)sen(40º+t)sen(10º)/sen(80º)

sen(t) = sen(40º+t)sen(10º)/cos(40º)

sen(t) = (sen(40º)cos(t)+cos(40º)sen(t))sen(10º)/cos(40º)

1/sen(10º) = (sen(40º)cos(t)+cos(40º)sen(t))/(cos(40º)sen(t))

1/sen(10º) = tg(40º)ctg(t) + 1

1 = sen(10º)tg(40º)/tg(t) + sen(10º)

tg(t)=tg(40º)sen(10º)/(1-sen(10º))

tg(t)/tg(10º) = tg(40º)cos(10º)/(1 - sen(10º))  (*)

tg(t)/tg(10º) = tg(40º)*tg(45º + 5º) = tg(40º)*tg(50º) = 1  ==> t = 10º

puesto que 0 < t < 180º.


(*) cos(2x)/(1 - sen(2x)) = (cos^2(x) - sen^2(x))/(1 - 2sen(x)cos(x)) =

  = (1 - tg^2(x))/(1/cos^2(x) -2tg(x)) = (1 - tg^2(x))/(1 +
tg^2(x) -2tg(x)) =

  = (1 - tg^2(x))/(1-tg(x))^2 = (1 + tg(x))/(1 - tg(x)) = tg(45º + x)