Cuestión nº 48:

Sea ABC un triángulo rectángulo en B e isósceles.

Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que

CD=CB=BA, y tal que          α= < DCB = < DAC

Calcular α

Trucios Espinosa, A."Problemas Selectos de Geometría". Ed. AGASA. Perú

 

 

Solución de Pedro González Enríquez, Profesor del I.E.S. “Las Flores” de Álora en Málaga.

 

Justificación del dibujo:

  1. Trazamos el triángulo ABC, rectángulo en B e isósceles.
  2. Trazamos el simétrico del triángulo ABC respecto de su hipotenusa, y estaremos de acuerdo en que sale un cuadrado, ABCC’.
  3. Trazamos las circunferencias, de centro C y radio CB y de centro C’ y rado C’A que evidentemente tienen el mismo radio pues en ambos caso el radio es el lado del cuadrado.
  4. Las dos circunferencias anteriores se cortan en dos puntos, uno de ellos es la solución de nuestro problema ¡Es el punto D!.

 

Comprobemos que ese punto D es el que buscamos:

  1. Es evidente que CD=CB=BA pues D está en la circunferencia de centro C y radio CB=BA.
  2. También es evidente que el punto D está en la mediatriz del segmento CC’ y también en la mediatriz del segmento AB.
  3. Luego el triángulo CC’D es equilátero pues CD=C’D por ser D un punto de la mediatriz; CD=CC’ por ser radios de la misma circunferencia, así pues se cumple que α+60º=90º entonces α=30º
  4. Los triángulos BCD y ADC’ son iguales (no olvidar que D pertenece a la mediatriz del lado AB) e isósceles luego tenemos que <BDC=75º=<DAC’ y como <DAC=<DAC’-45º=75º-45º=30º=<BCD