Desde los vértices A y B de un cuadrado ABCD se trazan en el interior del cuadrado unas lineas rectas que forman ángulos de 15º con AB. Estas dos rectas se cortan en M. Demostrar que el triángulo DCM es equilátero.

Solución de Carlos Fleitas.

Como el triángulo CDM es isósceles por la simetría de la construcción (MC = MD) basta convencerse de que MD = CD para concluir que se trata de un triángulo equilátero.

Fijémonos ahora en la construcción que se ha realizado en el cuadrado de la derecha. Sobre los lados del cuadrilátero hemos construido triángulos isósceles que forman 15º con los lados del cuadrado. Hemos unido los cuatro vértices de esos triángulos para obtener un cuadrado (es cuadrado por la simetría de la construcción).

Obsérvese que el ángulo < KBM mide 60º (ya que < MBA = < CBK= 15º), por lo que el triángulo KBM es equilátero. (También lo son los otros tres triángulos correspondientes a los otros vértices del cuadrado inicial).

Lo anterior nos permite asegurar que los lados del cuadrado interior y los de los cuatro triángulos mencionados tienen la misma longitud.

En particular coinciden las longitudes CK, KM, CP y PD. Además los ángulos < CKM y < CPD coinciden (su valor es 150º). Como el ángulo que forman CK y CP es de 60º está claro que si giramos la línea poligonal CPD un ángulo de 60º alrededor de C la línea poligonal ocupará exactamente la posición de la línea poligonal CKM.

De lo anterior se deduce que los segmentos CD y CM tienen la misma longitud y por lo tanto el triángulo CDM es equilátero.

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