Desde los vértices A y B de un cuadrado ABCD se trazan en el interior del cuadrado unas lineas rectas que forman ángulos de 15º con AB. Estas dos rectas se cortan en M. Demostrar que el triángulo DCM es equilátero.

Solución del profesor¨Ángel Gutiérrez (Universidad de Valencia)

 

Sea E el pie de la perpendicular desde M sobre AD.

Si AB = 1, por simetría, ME = 0'5. < (MAE) = 75º

luego AE = 0'5/(tg 75) y

ED = 1 - AE = 1 - 0'5/(tg 75).

 

Por tanto, tg (MDE) = 0'5/DE y < (MDE) = arc tg (0'5/DE) = 30º.

Entonces, < (MDC) = 90 - < (MDE) = 60º.

Por simetría, < (MCB) = 60º y entonces el triángulo MCD es equilátero.