"96.- Inscribir en un triángulo equilátero de lado 8 cm otro triángulo equilátero. Calcular el área del inscrito en en los casos en que el vértice del inscrito disten del dado en 1 cm, 2 cm, ... 7 cm. ¿Cómo varía esta área?, ¿Cuál es el triángulo inscrito de área mínima?. Trazar el gráfico"

Solución.

Por simetría ambos triángulos tienen el mismo centro y los vértices del triángulo inscrito DEF distan lo mismo de los vértices más próximos del triángulo de partida ABC.

El área del triángulo inscrito, (DEF), será el área del triángulo ABC, (ABC), menos el área de los tres triángulos congruentes AFE, BDF y CED.

(DEF) = (ABC) - 3*(AFE) = (ABC) - 3((1/2)(AF*AE*sen(60º)) (DEF) = (ABC) - (3rq(3)/4)(AF*(AB - AF))

El área (DEF) será mínima cuando el área (AFE) sea máxima.

Pero para dos cantidades de suma constante, AF + AE = AF + FB = BC, el producto es máximo cuando son iguales.

Este conocido hecho se ve geométricamente muy bien en la figura 2.

Por tanto el área (DEF) es mínima cuando los vértices de este triángulo son los puntos medios de los lados del ABC, siendo entonces su área un cuarto de la de aquel.

Ignacio Larrosa Cañestro IES Rafael Dieste A Coruña (España)