Solución de una ampliación del problema 62.

 

96.- Inscribir en un triángulo equilátero de lado 8 cm otro triángulo equilátero. Calcular el área del inscrito en los casos en que el vértice del inscrito diste del dado en 1 cm, 2 cm, ... 7 cm. ¿Cómo varía esta área?, ¿Cuál es el triángulo inscrito de área mínima?. Trazar el gráfico.

Ampliemos a:

Al "inscribir" en un triángulo HIJ cualquiera otro que se forme a partir de vértices KI´J´ que distan en igual proporción de los respectivos HIJ. ¿Cómo varía la relación entre sus áreas? ¿Hay un factor que en todos los casos procure el "inscripto" de área mínima en relación con el que lo inscribe? ¿Podría representarse esta relación general gráficamente?

---- Este problema es de sencilla resolución apelando o a un poco de análisis o a las herramientas dinámicas o a una económica mezcla de ambas.

Pero sea como fuese, una vez resuelto, basta con pasar de lo general a lo estrictamente particular, calculando los valores que quedan determinados para la situación específica que plantea el 62:

- que HIJ no es cualquiera, sino equilátero, por ejemplo

- que para más datos, el vértice distará del dado según un factor

- que es necesario que fijemos a 8 cm la medida del lado del equilátero HIJ

Aquí aparece el dibujo de la resolución y su explicación, la detallo a continuación.

  1. Construyo un triángulo cualquiera HIJ
  2. Ubico al azar un punto cualquiera K sobre el lado HI
  3. Establezco la razón KI/HI como factor de dilatación para ubicar en proporción análoga respecto de los correspondientes vértices a los puntos J´ sobre HJ y a I´ sobre IJ.
  4. Construyo el triángulo KJ´I´ "inscripto" en HIJ
  5. Mido las respectivas áreas de uno y otro triángulo y establezco la razón entre ambas tal como puede leerse (Area I'J'K)/Area JHI)
  6. Calculo 2 - (Area I'J'K)/Area JHI) para tener una exposición más clara (como se comprenderá después).
  7. Grafico el punto M que tiene como coordenada X al valor de la razón KI/HI y como coordenada Y el valor de 2 - (Area I'J'K)/Area JHI)
  8. Construyo el lugar geométrico que traza el punto M a medida que el punto K se desplaza por el lado HI y obtengo así el trazo lila que parece una parábola y que así se conserva, resistiendo "parabólicamente" a toda deformación del triángulo HIJ o reposicionamiento del punto K.
  9. Para corroborar gráficamente que el trazo lila es el de una parábola y determinar la función que la "respalda", paso a averiguar cuál es el cociente incremental entre la relación de áreas al factor proporcional de "inscripción". Ver:

  10. Construyo el punto M´d que tiene como coordenada X el valor de la razón KI/HI y como coordenada Y igual a valor de:
  11. Construyo el lugar geométrico que traza el punto M´d a medida que el punto K se desplaza por el lado HI y obtengo así el trazo verde que parece francamente una recta y que así se conserva, resistiendo "rectamente" a toda deformación del triángulo HIJ o reposicionamiento del punto K.
  12. Para verificar la "rectitud" del trazo verde, construyo sobre éste un punto al azar M´dazar y trazo la recta que lo une a M´d. y observo que efectivamente, la recta obtenida coincide con el trazo verde.
  13. Pido la ecuación de la recta M´dM´dazar que es, por construcción, la que corresponde a la derivada gráfica del trazo verde y es igual a:
  14. La integral de -6x+ 3 con constante de integración adecuada (el 1 que corresponde) es la ecuación de la parábola lila (ya definitivamente, parábola): -3x2 + 3x - 1
  15. Tal como puede verse el máximo de la parábola se produce para un valor igual a ½ que es lo que nos indica que el valor de área mínima del triángulo inscripto es ¼ del área del que lo inscribe y corresponde al punto medio del lado del que lo inscribe. - En el caso del equilátero de 8 cm de lado, la cuarta parte del área es ¼* 16 * rc(3) o sea 4 * rc(3) – El valor del máximo de la parábola coincide con el que hace cero a su derivada, por otro lado.
  16. Me dedico a tomar los valores específicos que puedo necesitar para resolver algún caso específico como el del problema 62.
  17. Paso a verificar si la solución gráfica coincide con la posible analítica.

Analíticamente, puedo decir que el área de un triángulo cualquiera es igual a 1/3 de la suma de tres términos que son ½ del producto de dos lados concurrentes por el seno del ángulo que forman:

y que para obtener el área del inscripto, tengo que restar tres porciones triangulares, cada una de las cuales es ½ del producto de los lados concurrentes por el seno del ángulo que forman y por la razón de la proporción o factor proporcional de ubicación por (1-factor proporcional de ubicación):

Operando simplemente, se obtiene la ecuación que corresponde exactamente con la de la parábola lila, con lo que queda verificada la resolución gráfica.