Damián Aranda Ballesteros,profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (21 de Noviembre de 2002), envía la siguiente rectificación del problema 64*   

Sea ABC un triángulo.

Por los vértices B y C, por ejemplo, dibujamos las perpendiculares a los lados AB y AC hasta que corten a las prolongaciones de los lados AC y AB(si es neceario), en los puntos C´y B´, respectivamente.

Por los vértices A y C, trazamos las perpendiculares a los lados BA y BC hasta que corten a las prolongaciones de los lados (si es necesario) BC y BA en los puntos C'' y A'' respectivamente.

Por los vértices B y A, trazamos las perpendiculares a los lados CB y CA hasta que corten a las prolongaciones de los lados (si es necesario)CA y CB en los puntos A* y B* respectivamente.

De tal forma, que obtenemos los tres triángulos siguientes :
T(A)= AB´C´, T(B)= BA"C" y T(C)= CA*B* .
 

Sean los puntos:

A+ = recta(BC) intersección con recta(B' C'),

B+ =recta (AC) intersección con recta (A''C'')

y C+ =recta (AB) intersección con recta (A* B*).
Probar que :
a) Los triángulos T(A), T(B) y T(C) son semejantes al triángulo ABC, y O(A)O(B)O(C)(éste formado por los ortocentros de los triángulos T (A), T(B) y T(C)), respectivamente, y estos dos últimos son congruentes, en posición de Thales.
b) Probar si es cierto o no que los puntos A+, B+ y C+ son o no colineales.

Romero Márquez, J. B. (2002): Comunicación personal.

 

De tal forma, que obtenemos los tres triángulos siguientes :
    T(A), T(B) y T(C), ver el problema citado.
 

    Sea el triángulo O(A)O(B)O(C) cuyos vértices citados son los
ortocentros de los triángulos T(A), T(B) y T(C), respectivamente.
 

    Consideremos ahora el círculo circunscrito común a los triángulos
ABC y O(A)O(B)O(C).
 

    Definimos el triángulo O´(A)O´(B)O´(C) cuyos vértices están
situados sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC, y se definen
como los puntos simétricos de O(A), O(B) y O(C), respecto de los lados
BC, AC y AB, respectivamente.
 

    Demostrar que el triángulo O´(A)O´(B)O´(C) es homotético al
triángulo órtico de ABC, con razón 2 y centro de homotecia, el
ortocentro del triángulo, ABC.

Romero Márquez (Noviembre 2002) Comunicación personal  

 

 

 

Donde dice:
"Definimos el triángulo O´(A)O´(B)O´(C) cuyos vértices están
situados sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC, y se definen
como los puntos simétricos de O(A), O(B) y O(C), respecto de los lados
BC, AC y AB, respectivamente"

creo que debe decir:

"Definimos el triángulo O´(A)O´(B)O´(C) cuyos vértices están
situados sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC, y se definen
como los puntos simétricos de O(A), O(B) y O(C), respecto de las mediatrices
de los lados  BC, AC y AB, respectivamente."