Solución del problema 71

Alicia y Maite Peña Alcaraz, alumnas del Colegio Porta Celi de Sevilla

Teorema de Blanchet:

En todo triángulo ABC de altura BH, al trazar las cevianas AM y CN concurrentes en BH, se establece que la altura será bisectriz del ángulo MHN.

Solución:

 

Si llamamos m a la pendiente:

Si m (HN) = t; para que BH sea la bisectriz de MHN, entonces m(HM) = -t.

Entonces,  y

De lo que se deduce que la recta  .

Como la recta  entonces es fácil ver que

Y por el mismo camino, si  y , también es fácil ver que

Sabemos ahora que M, O y A tienen que estar alineados para que se cumpla el enunciado; luego

Y teniendo en cuenta que N, B y A están alineados conseguimos:

y como  con esto demostramos que M, O y A están alineados, entonces hemos demostrado que BH es la bisectriz de MHN cuando se cumplen las condiciones del enunciado.