Solución Saturnino Campo Ruiz, profesor de Matemáticas del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca)

Problema 72.- Alineaciones

Sea ABC un triángulo en el plano afín euclídeo P. Sea M un punto cualquiera del plano.

Suponemos que:

- la perpendicular por M a la recta AM corta a la recta BC en A'.

- la perpendicular por M a la recta BM corta a la recta CA en B'.

- la perpendicular por M a la recta CM corta a la recta AB en C '.

Demostrar que los puntos A', B' C ' están alineados.

Solución.-

Nuestra solución se basa en la demostración de una propiedad para las  seis rectas de un haz, que sólo depende de la posición que mantienen entre sí dichas rectas, y que, por tanto, se conserva al realizar proyecciones o secciones.

En la figura adjunta para las rectas a, b y c concurrentes en V,  y cortadas por una se­cante que determina los puntos ABC, aplicando el teorema de los senos podemos escri­bir:  y también .

 Dividiéndolas entre sí encontramos .

Es evidente que para la razón formada por sus proyecciones en otra recta no paralela se obtiene una razón diferente , por eso es más importante la razón do­ble que la simple, ya que esta última es invariante por proyecciones y secciones.

            Si ahora disponemos de un triángulo ABC y otros tres puntos M, N y P, cada uno alineado con dos vértices y otro punto V no alineado con ninguna terna, como se indica en la figura, se tendrá procediendo como antes:

. Tomamos otra razón simple con los puntos M, B y C. Se tendrá: , y para la determinada por N, C y A   . Multiplicán­dolas entre sí, se eliminan las razones de las distancias al punto V, obte­niendo así un invariante proyectivo para las rectas del haz que concurren en V.

.

Para demostrar que los puntos A’, B’ C’ están alineados, vamos a aplicar el teorema de Menelao al triángulo ABC. Es decir ver si vale +1 el siguiente producto:

.

Proyectando desde M sobre la recta AB, el triple pro­ducto es igual a este otro:

, (*)

donde se ha designado como s a la recta que pasa por S y s’ a la que pasa por S’. Te­niendo en cuenta que los ángulos de a,a’; b,b’; c,c’ son rectos, los restantes ángulos son áng(b’, a) = a;  áng(c, b’)=b ;   áng(a’, c)=90-(a+b); áng(b, a’)= a; áng(c’,b)=b. Susti­tuyendo en (*) tendremos que m = = .

En conclusión: los puntos A’, B’ y C ’ están alineados.