Problema 83

Solución de José Seijas Vega Alumno de 2º Bachillerato C.E.S. San José (Málaga) A.A.A.A.M.




En todo polígono regular de numero de lados n se puede dar:

   -n sea par: Entonces podremos observar que cada para lado hay otro paralelo a él y distando siempre la misma distancia en ese caso la suma de perpendiculares siempre será la misma sea el punto que sea pues aunque el punto se desplace lo que se acerca a un lado se alejara del otro.

   -n sea impar: En este caso para demostrar que la suma será siempre una constante se puede considerar uno de sus lados como base horizontal de tal modo que uniendo el vértice más alto con la base con un segmento perpendicular a este obtenemos un eje de simetría, de tal modo que observamos que si un punto tiene un desplazamiento horizontal, como las perpendiculares que quedan a un lado tienen la misma inclinación pero sentido contrario de las que quedan en el otro lado, el sumatorio se mantiene igual. Para los movimientos verticales pasaría lo mismo, si utilizamos otro de los lados como base.


Así que para resolver el problema si situamos el punto en el centro del
polígono observaremos que la perpendicular es igual a la apotema:

         Suma de perpendiculares=nAp

La apotema se calculará gracias al triangulo rectángulo que se forma con la
mitad de uno de sus lados y el radio de la circunferencia inscrita. El ángulo es la mitad del ángulo central.

nAp=ncos(360/2n)lado=ncos(180/n)r (Si tenemos el radio de la circunferencia
circunscrita=r)


nAp=nl/(2tg(180/n)) (Si tenemos el lado del polígono=l)