Problema nº 96.- Un problema de las bisectrices exteriores.

Las bisectrices exteriores de los tres ángulos de un triángulo escaleno cortan a sus tres lados opuestos en tres puntos que están alineados.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León de Salamanca.-

1ª demostración. Nos apoyamos en tres hechos:

i)                    El teorema de Me­nelao.

ii)                   La razón de las áreas de dos triángu­los de igual altura es la ra­zón de las bases res­pectivas.

iii)                 El área de un trián­gulo es proporcional al producto de dos lados cualesquiera por el seno del án­gulo comprendido.

Llamaremos a, b y  g  a los ángu­los interiores correspon­dientes a los vérti­ces A, B y C.

Según esto, en los triángulos BB’C y ABB’ se tiene: =

= = .

 (áng.(CB’B)= 180-(180-g)-(90-b/2)=g+b/2-90=90-a-b/2).

 Despejando B’A = (1). Por otra parte, si expresamos el área del triángulo ABB’ mediante los lados BB’, B’A  y el ángulo comprendido, y el área de BB’C mediante los lados BB’, BC   y el ángulo comprendido tendremos , de donde podemos despejar 

B’C = (2). Combinando (1) y (2) llegamos a: = . Por permutaciones de las letras A, B, C se obtienen igualmente: y . Por tanto  que, según el teorema de Menelao demuestra la alineación de A,’ B’ y C’.

2ª demostración:

También haremos uso del teorema de Menelao.

Si BM es la bisectriz interior de B,        los puntos M y B’ separan armónicamente a los puntos A y C. (Puede verse demostrado en el problema nº 71, Teorema de Blanchet).

Es decir, la razón doble (B’MCA) = -1; desarrollado, esto equivale a poner . De otra parte, la bisectriz interior divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que en ella concurren (teorema de la bisectriz), por tanto    . El resto es igual que en la primera demostración aplicando el teorema de Menelao.   c.q.d.