Problema 60.

Construya un triángulo rectángulo con hipotenusa dada tal que la mitad de la longitud de la misma sea la media geométrica de sus catetos.

Solución del profesor Ignacio Larrosa Cañestro

IES Rafael Dieste

A Coruña (España) ilarrosa@mundo-r.com

Sea a la hipotenusa dada y b y c los catetos.

Del enunciado, a^2/4 = b*c.

Llamando S al área del triángulo y ha a la altura correspondiente al vértice A,

opuesto a la hipotenusa, tenemos, S = b*c/2 = a^2/8 = a*ha/2 ===> ha = a/4

Entonces el vértice A debe encontrarse en una paralela a la hipotenusa,

a una distancia de ella igual a la cuarta parte de su longitud,

y en una circunferencia que tiene por diámetro la hipotenusa, puesto que el ángulo en A es recto.

Esta construcción, dada la hipotenusa en magnitud y posición, nos da cuatro soluciones simétricas.

Nota: Se comprueba fácilmente construyendo el cateto mayor en la prolongación del menor,

a partir del vértice A, obteniendo el segmento C'B

y llevando la longitud AM sobre el cateto mayor, para obtener M'.

La circunferencia que tiene como diámetro C'B pasará por M' (Teorema de la altura)