Sofisma tercero; demostrar que todos los triángulos son isósceles. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC considerándolo como base, y tomemos por D la perpendicular a BC: Tracemos ahora la bisectriz del ángulo opuesto A.

1º.- Si esta bisectriz no se encuentra a la perpendicular a BC por D, siendo por tanto paralela a ella y, por consiguiente, es perpendicular a BC, en ese caso el triángulo ABC es isósceles.

2º.- Si la bisectriz del ángulo se encuentra con la perpendicular a BC por D, el punto de encuentro O está en el interior o en el exterior del triángulo.

Supongamos en primer lugar que está en el interior, desde este punto O, tracemos las perpendiculares OE, y OF sobre AC y BC, y después tracemos OB y OC.

El punto O está en la bisectriz del ángulo A, por lo que las dos perpendiculares OE y OF sin iguales y los dos triángulos rectángulos OAE y OAF son iguales, por lo tanto (I) AE=AF. De igual manera OB=OC, y los dos triángulos rectángulos OCE y PBF son también iguales, de donde: (II) EC=BF. Sumando miembro a miembro (I) y (II), tenemos: AE+EC=AF+BF de donde AC=Ab, de donde se tiene la conclusión de que el triángulo ABC es isósceles.

Supongamos en segundo lugar que el punto O esté en el exterior del triángulo ABC.Hagamos la misma construcción: Los dos triángulos rectángulos OAE, OAF son iguales y (1) AE=AF. Del mismo modo, la igualdad de los dos triángulos rectángulos OCE, OBF nos da (2) CE=BF.

Restando miembro a miembro (1) de (2), queda: AE-Ce=AF-BF, de donde AC=BC.

Así pues, el triángulo ABC es isósceles en todos los casos posibles, resultado evidentemente absurdo.

Ball, W.R. (1908): Recreaciones Matemáticas y problemas de los tiempos antiguos y modernos. Segunda edición francesa , tratada después de la cuarta inglesa con numerosas adiciones. Librairie Scientifique A. Hermann. París (p. 5)

En The Open University (1974): Lógica II -Prueba. Curso básico de Matemáticas, Libros Mcgraw-hill. México (p. 23), está referenciado el primer "caso" (Traducción de Hernando Alfonso, Universidad Pedagógica Nacional).