a)Si por el punto medio M de un arco de circunferencia que subtiende un triángulo ACB bajamos una perpendicular MN a la cuerda que comprenda el arco donde esté M ( en este caso AC), demostrar que AN=NC+CB.

Consideremos la figura y sea C ' el simétrico de C respecto a N.

Es NC=NC' por lo que bsatará "ver" que AC '= BC.

Si consideramos los triángulos AC ' M y BCM están girados por un giro de ángulo AMB y centro M ya que

1.- MC=MC', 2.- MB = MA, 3.- < MAC = < MBC al abarcar el mismo arco MC. Luego los dos triángulos AC ' M y BCM son congruentes y, cqd,

BC=AC' y así, tenemos lo pedido en el apartado.

b) Dado un triángulo ABC, sea M el punto medio de CA. El segmento MQ tal que divide en dos mitades el perímetro del triángulo ABC, se denomina ruptor. Construir Q, punto ruptor.

Sea Ahora ABC el triángulo dado. Construyamos la recta AC, y sea M el punto medio.

Tomemos sobre la recta AC el punto R tal que AR=AC y T tal que TC=CB.

Sea R1 el simétrico de R por M y R2 el punto medio de R1 T. Tracemos la paralela a TB por R1, que cortará a CB en Q.

MQ es el ruptor pedido.

c) Demostrar que QM es paralela a BN, bisectriz del ángulo B.

Consideremos ahora sobre la recta CB el punto S tal que BS=BA. Por ángulos, es : <BSA=<SAB por construcción.

Luego al ser <ABS el ángulo externo de <CBA, es <BSA= 1/2 <CBA, y dado que QM es la paralela media de CAS tenemos lo pedido.

d) Demostrar que los tres ruptores se encuentran en un punto, centro ruptor del triángulo.

Se tiene la misma situación geométrica dada por los profesores Damián Aranda y Saturnino Campo, es decir, el punto ruptor es el incentro del triángulo medial

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla