Problema 113.-

Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos pares de lados, que comprenden ángulos desiguales, el ángulo mayor está opuesto al lado mayor.

Severi, F (1952): Elementos de Geometría (I). Labor. S.A. Barcelona.

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros.

Sean los triángulos ABC y A'BC, de los que conocemos:

-         Del ABC, los lados b y c y el ángulo A.

-         Del A'BC, los lados b y c y el ángulo A'.

Aplicando el teorema del coseno en ambos triángulos, tenemos que:

-         a² = b² + c² -2×b×c×cos A

-         a'² = b² + c² -2×b×c×cosA'

Restando ambas expresiones, obtenemos:

-         a² - a'² = 2×b×c×( cos A' - cos A )

Luego entonces:

 Signo(a - a') = Signo (cos A' - cos A ) = Signo ( A - A' )  (= por ser estrictamente decreciente la función y = cos x, para xÎ]0,p[ )

En definitiva:

a > a' Û A > A'

Es decir, al ángulo mayor se opone el lado mayor y viceversa.