Problema 114.- Dado un triángulo ABC, se tiene que los tres ángulos ACO, OCP y PCB son iguales, siendo CO la mediana, CP la altura del triángulo ABC, y O, P puntos del segmento AB. Indagar

a) ¿qué tipo de triángulo es ACO? ,

 b) ¿qué tipo de triángulo es COB?  

 c)¿qué tipo de triángulo es ACB?

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor de Matemáticas del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca)

-  Siendo CP una altura, de la igualdad de los ángulos OCP  y PCB se deduce que el triángulo OCB es isósceles y esta altura  es una bisectriz del mismo, por tanto AO = c/2  y OP = PB = c/4, CO = a. El resto de ángulos son los que aparecen en la figura. Como es habitual a = BC; b = AC y c = AB. En el triángulo PCB se tiene senf =  , de donde c = 4asenf,  y en el triángulo AOC,    , en esta última, sustituimos c, y obtenemos , o sea,   = 1/2. La única solución posible para este triángulo es que sea 2 f = 60 º. Así pues, el triángulo ABC rectángulo en C y sus ángulos agudos son de 30º y 60º respectivamente (parte c). El triángulo ACO es isósceles (parte a), pues AO =a=c/2=OC. Finalmente, el triángulo  COB es equilátero (parte b).