Problema 116.-

Se tiene un triángulo ABC. Consideremos su circunferencia circunscrita y sea D un punto de la misma.

Con centro en A y radio AD se traza una circunferencia Ca.

Con centro en B y radio BD se traza una circunferencia Cb.

Con centro en C y radio CD se traza una circunferencia Cc.

Ca y Cb se cortan en D y X; Ca y Cc se cortan en D e Y; Cb y Cc se cortan en D y Z.

Demostrar que los puntos X, Y y Z están alineados.

Olimpiada Canguro 2003 . Problema propuesto por el profesor esloveno Matija Pretnar en la concentración de Francia (verano de 2003).
Solución de Maite Peña Alcaraz, alumna del Colegio Porta Celi

AC es perpendicular a DX, y llamemos X´ al punto de DX sobre AC, igualmente,
AB es perpendicular a DY, y considero Y´ como el punto de intersección de
ambas rectas. Por último, BC es perpendicular a DZ y considero Z´ como el
pie de la perpendicular DZ sobre el lado BC. Ahora si considero el triángulo
ABC, el teorema de la recta de Simson, dice que X´, Y´ y Z´ están alineados
"Dado un triángulo ABC y un punto D de su circunferencia circunscrita, si se
consideran los pies de las perpendiculares desde D a los lados del triángulo
sobre los lados del triángulo, éstos puntos están alineados."

Por tanto X´, Y´ y Z´ están alineados, y haciendo una homotecia de centro D
y razón 2, se convierte X´ en X, Y´ en Y y Z´ en Z, ya que si dos
circunferencias se cortan en dos puntos, la recta que une sus centros
interseca al segmento que pasa por los dos puntos por su punto medio. Por
tanto, como X´Y´Z´ y XYZ están relacionados por una relación de homotecia,
si la primera figura es una recta, la segunda también lo será.