Problema 121 (para el aula)

Cualesquiera dos exincetros en un triangulo quedan alineados con el vértice que existe entre ellos. También estan alineados con dicho vértice el incentro y el otro exincentro. Estas rectas son perpendiculares.

Rosillo, N. (2003): Comunicación personal

Solución de la alumna Maite Peña Alcaraz, del Colegio PortaCeli de Sevilla

Los exincentros se encuentran en el punto de corte de las bisectrices exteriores de los ángulos con la bisectriz del ángulo opuesto. La Bisectriz exterior de un ángulo pasa por el vértice, y ángulos opuestos por el vértice son iguales por tanto, los exincentros se encuentran en una recta que pasa por un vértice, por tanto están alineados con el vértice y entre ellos, ya que están sobre la bisectriz exterior del ángulo.

Por otro lado, el incentro se encuentra en el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Por tanto, el incentro y el vértice se encuentran contenidos en la bisectriz, y el otro exincentro se encuentra en el punto de corte de esa bisectriz con las otras bisectrices exteriores, luego está claro que se encuentra también en la bisectriz, y por tanto alineado con el incentro y el vértice.

Una bisectriz, por último es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales, por lo que:

B/2+90-B/2=90 y por tanto la bisectriz interior y la exterior son perpendiculares. Además antes hemos demostrado que estaban alineados los puntos en las bisectrices y en las bisectrices exteriores.