Problema 124.-Sea el triángulo ABC y su circunferencia inscrita C de radio r.

Sean las rectas tangentes a la circunferencia C paralelas a los lados del trián­gulo, que determinan con los vértices los triangulos PQC, RSB, TUA.

En cada triángulo, construimos la circunferencia inscrita de radios r₁, r₂, r₃, respectivamente.

Entonces: r=r₁+r₂+r₃  (Peiró i Estruch, R. (2003): Comunicación personal)

Solución de Saturnino Campo Ruiz .-  Con las rectas tangentes determinamos, además de los tres triángulos citados, el triángulo A’B’C’ igual al original, pues tienen los ángulos iguales y también tienen igual el radio de la circunferencia inscrita. De la igualdad de los segmentos paralelos comprendidos entre paralelas se concluye que BS = B’Q  y CQ = C’S. De ésta última se sigue la igualdad de los triángulos semejantes C’TS  y CPQ, y, por tanto, TS = PQ.  Es evidente que los triángulos PQC, RSB y TUA son semejantes al triángulo ABC;   la relación entre los perímetros es la razón de semejanza, e igualmente esa es la relación entre los radios de las circunferencias circunscritas (Recuérdese que el área de cada triángulo es igual al semiperímetro por el radio de la circunferencia inscrita).  Así pues, tendremos , como TS = PQ, sumando tenemos , es decir, r=r₁+r₂+r_3.  c.q.d.