problema 133
Dividir un triángulo en dos figuras, un cuadrilátero y un triángulo de la misma área por un punto que no sea vértice ni punto medio de un lado.

Barroso (2004): Comunicación personal.

Solución del profesor William Rodríguez Chamache profesor de geometriade la "Academia integral class" Trujillo- Perú (21 de enero de 2004)

Sea N un punto cualquiera del controrno del triángulo ABC

-trazamos por B una recta paralela al segmento CN que intersecta a la prolongación de AC en el punto P formandose el trapecio BNCP cuyas diagonales se intersectan en el punto K

-luego en el triángulo ANP se toma el punto medio F de AP determinandose los triángulos de Areas equivalentes ANF y NFP

finalmente se observa que el Area del triángulo PKC y BNK son equivalentes por lo tanto el área del triángulo ANF y el cuadrilatero NBCK son equivalentes

problema 133-2

En el caso anterior el punto N se acerca al punto B, en este caso observamos
que el punto N se acerca al punto A

por el punto B trazamos una paralela al segmento NC que intersecta a la prolongación del segmento AC en el punto E, luego tomamos el punto medio R del segmento AE desde el cual trazamos una paralela al segmento BE que corta
al segmento AB en su punto medio P(teorema de la base media de un triángulo).

Luego observamos que el segmento CP es mediana del triángulo ABC lo cual queda dividido en partes equivalentes además en el trapecio NPSC se sabe que Área PHN=Área SHC(propiedad de los trapecios).

Tambien observamos que las Áreas de los cuadriláteros ANHC y PHSB son equivalentes por que las áreas de los triángulo APC y BPC son equivalentes. Finalmente el área de ANSC y NBS son equivalentes.