Problema 134. Dividir un triángulo en dos figuras, un cuadrilátero y un triángulo del mismo perímetro por un segmento que pase por un punto que no sea un vértice.

Barroso, R. (2004) Comunicación personal.

Solución del profesor Saturnino Campo Ruiz. IES Fray Luis de León. Salamanca.-

El problema consiste en determinar como en el problema anterior dos puntos P y Q de forma que  la suma de los segmentos AP + AQ sea igual al semiperímetro p del triángulo ABC, o bien, PC +BQ+BC = p, de donde resulta despejando PC +BQ =p-a De esta forma el cuadrilátero PQBC y el triángulo APQ tendrán el mismo perímetro. Como ya dijimos en el problema 110 (Teorema de Feuerbach) en el vértice M de un triángulo, la circunferencia inscrita determina segmentos de longitud p-m. Eligiendo un punto P’ en el segmento AA’=p-a, nos divide este segmento en la suma de PQ+BC. El simétrico de P’ respecto al punto medio M sirve para determinar P. Un círculo de radio PA’ y centro B determina el punto Q que resuelve el problema.