Problema 146.-

3. Sea ABC un triángulo cualquiera. Sean los puntos :

L sobre AB tal que 2 AL = AB. M sobre BC tal que 3 BM = BC.

N sobre AC tal que 4 AN = AC.

Si P es la intersección de AM con BN, demostrar que LP es paralela a BC

Velasco, G. (1983): Tratado de Geometría. Limusa. México. (p. 105)

Nota del editor: Redacción literal, levemente "alterada", sin cambiar el contenido geométrico

Solución del editor (18 de febrero de 2004)

Primera solución.

Sea la ceviana AM tal que BC = 3BM, y por ello, MC=2BM.

Tracemos la paralela media por B' punto medio de AC. Cortará a AM en D.

Al ser AB'D semejante a ACM de razón 1/2, es B'D=1/2 CM=BM.

Tracemos ahora la ceviana BN tal que AC=4AN y por ello NC=3AN, y NC=3NB'=AN.

Los triángulos NEB' y NBC son semejantes de razón 1/3, por lo que es B'E = 1/3 MC= BM.

De ambas igualdades, y al estar D y E a la misma distancia de B',

sobre la misma paralela media y ser de AM y CN, es D=E=P, y c.q.d. es C'P paralela a BM y por tanto a BC.

Por otra parte, de las relaciones establecidas, se tiene:AP=PM y PB= 2NP

Segunda solución.

Sea la configuración del problema y tracemos por A la paralela AT tal que:

ANT es semejante a CNB de razón 1/3. Por ello es AT = BM, y la figura ATMB es un paralelogramo.

AM y BT son sus diagonales que se cortan en P, punto medio de AM y de BT.

Luego AC'P es semajante a ABM , y por ello C'P es paralela a BM y BC, c.q.d.