Problema 146.- Sea ABC un triángulo cualquiera. Sean los puntos: L sobre AB tal que 2 AL = AB.

 M sobre BC tal que 3 BM = BC. N sobre AC tal que 4 AN = AC.

Si P es la intersección de AM con BN, demostrar que LP es paralela a BC.

Velasco, G. (1983): Tratado de Geometría. Limusa. México. (p. 105)

Nota del editor: Redacción literal, levemente "alterada", sin cambiar el contenido geométrico.

 

 

 

 

 

 

 

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor de Matemáticas del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca) (17 de febrero de 2004).-

 En las condiciones del problema si trazamos la ceviana CP que corta al lado  opuesto en el punto R, aplicando el teorema de Ceva obtenemos: , despejando   =2·1/3=2/3.

Si la recta LP no fuera paralela al lado BC, cortaría a éste en el punto Q.  Tendríamos en el lado a cuatro puntos alineados: B, M, C y Q.

Si los proyectamos sobre el lado c tomando  P como polo de proyección obtenemos los puntos B, A, R  y L. En este proceso no se altera el valor de la razón doble. Así pues, (B M C Q) = (B A R L) = =  3/2. Por otra parte (B M C Q) = : = 3/2 : . De donde se deduce que = 1, y esto sólo puede suceder si Q es el punto impropio de la recta BC, con lo que quedaría probado el paralelismo de esta recta con LP.