Quincena 1 de marzo al 15 de marzo de 2004
Problema 147.-
Sean: un triángulo equilátero ABC de lado a,
una circunferencia de centro el incentro de ABC y de radio r.
Sea P un punto cualquiera de la circunferencia.
Demostrar que: (PA) (PA)+ (PB) (PB) + (PC) (PC) = a a + 3 r r.
Barroso R (2004): Comunicación personal.
Solución de Maite Peña Alcaraz, alumna del Colegio Porta Celi de Sevilla:
Consideraremos los vectores PA, PB y PC. PA=AO+OP, PB=BO+OP y PB=CO+OP, sabiendo que AO+BO+CO=0 ya que O es el incentro y el circuncentro del triángulo.
Entonces PA2+PB2+PC2=(AO+OP)2+(BO+OP)2+(CO+OP)2=AO2+BO2+CO2+2OP(OA+OB+OC)+3OP2, y cómo OA+OB+OC=0, y un V2=módulo de v al cuadrado, entonces PA2+PB2+PC2=IAOI2+IBOI2+ICOI2+3IOPI2=3a2/9+3a2/9+3a2/9+3r2=a2+3r2 y queda probado.
De hecho como generalización del problema, dentro de un triángulo equilátero, la relación a los puntos de una circunferencia cualquiera de centro N y radio r, si d es igual a la distancia de O a N se cumple que PA2+PB2+PC2=a2+3r2+3d2+6t, siendo t igual al producto escalar del vector que va de O a N y el vector que va de N a P, por lo que si la circunferencia no está en el circuncentro, la suma no es constante.