Problema 147

Sean: un triángulo equilátero ABC de lado a,

una circunferencia de centro el incentro de ABC y de radio r.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia.

Demostrar que: (PA) (PA)+ (PB) (PB) + (PC) (PC) = a a + 3 r r

Barroso, R. (2004): Propuesta personal.

Solución del editor

Sea la figura geométrica dada;

es, vectorialmente: AP=AO+OP. Luego es, por módulos de los vectores: AP AP = AO AO + OP OP + 2 OP AO.

De igual manera: BP BP = BO BO + OP OP + 2 OP BO, y CP CP = CO CO + OP OP + 2 OP CO

Tenemos que el módulo de OP es r, y el de OA es a/ (sqr 3). Además, al ser ABC un triángulo equilátero,

es vectorialmante, OA +OB+OC el vector nulo.

De todo ello, sumando se obtiene (PA) (PA)+ (PB) (PB) + (PC) (PC) = a a + 3 r r , cqd

Ricardo Barroso Campos Didáctica de las Matemáticas (Universidad de Sevilla)