Problema 149

Si los pies de las alturas de un triángulo se proyectan sobre los otros lados (o rectas que contienen los lados) se obtienen 6 puntos que forman un exágono inscrito en una circunferencia. 

Solución del profesor William Rodríguez Chamache. profesor de geometría de la "Academia integral class" Trujillo- Perú (2 de marzo de 2004)

Sea el ángulo MQP = ; del gráfico el cuadrilátero MBQH es inscriptible entonces ABH = ;  también el cuadrilátero LQPH es inscriptible entonces HLP = , y por alternos internos BHL = ; luego en el cuadrilátero  ABLH  inscriptible entonces  BAL= ; se sabe por propiedad que MN//BC y PQ//AB. Finalmente el cuadrilátero MNPQ es inscriptible por los ángulos ( )

Propiedad:

En esta gráfica el cuadrilátero ABRN es inscriptible entonces ángulo A =ángulo NRL y como AB//PQ entonces ángulo A = ángulo QPC; finalmente el cuadrilátero RQPN es inscriptible

Ahora en el gráfico anterior los puntos M, N, P y Q pertenecen a una circunferencia pero en esta gráfica los puntos N, P, Q  y R pertenecen también a una circunferencia y como los puntos N, P y Q pertenecen a ambas circunferencias entones loes puntos M, N P, Q y R pertenecen a la misma circunferencia   

Observación:

Luego los segmentos SR, PQ y MN son paralelos a los lados del triángulo AC, AB y BC respectivamente

De la misma manera se demuestra que el cuadrilátero MQRS es inscriptible luego  los puntos M, Q, R y S también pertenecen  al a circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R y S  finalmente los  puntos M, N, P, Q, R y T pertenecen a una misma circunferencia entonces el exágono MNPQRS es inscriptible.

Finalmente se obtendrá la gráfica siguiente:

Prof.: chamache