Problema 150.-

Sea el triángulo ABC,donde AD y CE son bisectrices interiores.En la prolongación de ED se toma el punto
P, desde el cual trazamos las perpendiculares PJ,PK y PL sobre AB, BC y AC respectivamente. Probar que: PK=PJ+PL.

Salazar, J.L. (2004): Comunicación personal.

Solución del editor

Consideremos el caso en que P está en el exterior del triángulo.

ABC

CE y AD bisectrices. . P en ED. Tenemos:

PK perpendicular a BC, PJ a AB y PL a AC.

Construyamos PKV y PVW isósceles tales que J esté sobre PV y L sobre PW.
Tomemos LZ paralelo a PJ -> LZW isósceles
JZ paralelo a PL -> JVZ isósceles.

Además, es KV paralela a la bisectriz de B
VW paralela a la bisectriz de A
Z está sobre VW porque VZJ es semejante a VWP
Z coincide para ambas paralelas por el motivo de ser también WZL semejante a WVP
Con lo que demuestra la propiedad. Los otros casos (P interior o en la otra semirecta) serían análogos

Ricardo Barroso Campos. Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla