Propuesto por el profesor Ricard Peiró del IES número 1 de Cheste

Problema 153

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los segmentos determinados en la hipotenusa por la circunferencia inscrita.

LEVI S. SHIVELY, PH.D. (1972) Introducción a la Geometría Moderna. Compañia editorial continental. Mèxico. pàg. 171

Bruño(1963), Geometría Curso Superior , pág 250, prob 523.

Solución de José María Pedret. Ingeniero Naval. Esplugas.

 

Los segmentos que determina en cualquier triángulo el círculo circunscrito son (s-a) y (s-b). Donde s es el semiperímetro.

En este caso a y b son los catetos. Entonces:

(s-a)(s-b)=

=((a+b+c)/2-a)((a+b+c)-b)=

=(-a+b+c)(a-b+c)/4=

=(-a²+ab-ac+ba-b²+bc+ca-cb+c²)/4=

=(c²-(a²+b²)+2ab)/4 y como es rectángulo a²+b²=c², entonces

(s-a)(s-b)=ab/2