Propuesto por Juan Carlos Salazar, Profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz). Problema 157  En un cuadrilátero convexo ABCD, las prolongaciones de AB y DC se cortan en P. Si los puntos medios de AC y BD son M y N respectivamente, demostrar que el área del triángulo MNP es 1/4 del área de ABCD. Posible autor Th. Caronnet El editor y el proponente del problema agradece a Darij Grinberg de Karlsruhe (Germany) la referencia de este problema.  Coxeter, H.S.M. y Greitzer, S.L.(1993): Retorno a la Geometría. La tortuga de Aquiles, Traducción de Pedro Gómez y Joaquín Hernández. ( La tortuga de Aquiles). (pag 54)

 Solución de la alumna Maite Peña Alcaraz del Colegio Portaceli de Sevilla (9 de abril de 2004):

Si colocamos el cuadrilátero en los ejes coordenados:

P se obtiene como la intersección de las rectas AB y CD, y M=(c1/2,c2/2) y N=(b1/2+d/2, b2/2)

El área de ABCD se puede calcular dividiéndolo en dos triángulos rectángulos y un trapecio rectángulo, el formado por las B y C y las proyecciones sobre el eje de las X.

ABCD=b1b2/2+(c1-b1)(c2+b2)/2+(d-c1)c2/2=(-b1c2+dc2+c1b2)/2.

 Ahora, si averiguamos el área de MNP dividendo por dos el producto vectorial de MN y MP, obtenemos que MN=(b1/2+d/2-c1/2, b2/2-c2/2) y MP=(b1c2d/(c2b1-b2c1+db2)-c1/2, b2c2d/(c2b1-b2c1+db2)-c2/2).

Y obtenemos que Módulo(MNxMP)/2=(c1b2+c2d-c2b1)/8, luego queda probado que el área de MNP es igual a la cuarta parte de ABCD.