Problema 161

Sea ABC un triángulo rectángulo en A, que tiene la
siguiente propiedad :
Si AA´es la bisectriz del ángulo A, donde A´es su pie sobre
la hipotenusa de ABC, y si se verifica que, A´B = 2r, caracterizar el
triángulo que verifica esta propiedad.

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

 Solución deRicard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València)(1 de abril de 2004) (en español)

Solución:

Consideremos el triángulo , . Aplicándole el teorema de los senos:

Simplificando:

,  es decir,        (1)

El área del triángulo  es:

,   o bien,  

Igualando las áreas:     , entonces,    (2)

Substituyendo (2) en (1):

Simplificando:

Elevando al cuadrado y simplificando:

,  entonces,  .

, entonces,