Propuesto por Juan Carlos Salazar, Profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz). Problema 162 Sean ABC y A1 B1 C1 dos triángulos con los lados paralelos, uno en el interior del otro. Si DEF es un triángulo circunscrito a uno e inscrito al otro, demostrar que: (área DEF) (área DEF) = ( área ABC) (área A1 B1 C1) Exercises de Géométrie, F.G.-M., pp.765-766, 6th Edition 1920, J. Gabay reprint, Paris, 1991

Solución de la alumna Maite Peña Alcaraz del Colegio Portaceli de Sevilla (9 de abril de 2004):

Consideremos que el primer triángulo abc (el pequeño) es k veces más pequeño que el mayor. Por tanto si el área del primero es S, la del mayor será k²S. Él (área ABC)(área A1B1C1)=k²S². El área de DEF es el área de abc, S más la mitad del área de los paralelogramos coloreados de celeste. Independientemente de dónde esté situado dentro del triángulo grande A1B1C1 el triángulo ABC, el área de los paralelogramos coloreados de celeste es constante.

Lo primero que demuestro, es que independientemente del triángulo inscrito a uno y circunscrito a otro, puedo coger cualquier paralelogramo “celeste” ya que todos tienen la misma base y la misma altura (independientemente de la pendiente de sus lados, luego todos tienen el mismo área.

Elijo entonces el que tiene sus lados paralelos a uno de los lados de los triángulos. Demostraré que al mover el triángulo en una dirección paralela a uno de los lados, el área no varía (además moviéndolo en paralelas a un lado cada vez se puede llevar a la dirección que se quiera).

Al moverlo en una dirección paralela al lado a, el área del paralelogramo de a no variará, por lo que podremos considerar que está sobre la base de otro triángulo más pequeño. Basta demostrar que la suma de las áreas de los paralelogramos de b y de c no dependen de la posición del triángulo. Para demostrar eso, fijémonos que los tres triángulos rellenos son semejantes, porque se encuentran delimitados por rectas paralelas, así como también el triángulo de lado rojo y el verde. Y si suponemos que el triángulo mayor y el menor tiene ahora razón L, entonces en función de la posición x, el área de los dos paralelogramos será:

la suma del área del triángulo rojo mas la del triángulo verde menos dos veces S y una vez cada área de los otros triángulo. Haciendo la resta obtenemos

(k-x)²S-(k-x-1)²S-S+(x+1)²S-x²S-S=2LS, luego queda probado que no depende de la posición y por lo que hemos dicho antes va a ser siempre constante.

Luego, para calcular cuanto vale, basta calcularla en el caso más fácil cuando A1B1C1 y ABC tienen un vértice común.

luego el área DEF= S+(k-1)ha/2=S+(k-1)S=kS, luego al cuadrado, queda probado que la igualdad es cierta.