Problema nº 162.-  Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos con los lados paralelos, uno en el interior del otro. Si DEF es un triángulo circunscrito a uno e inscrito al otro demostrar que:

(área DEF)² = (área ABC)·(área A’B’C’).

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca (1 de abril de 2004)..-

Si los triángulos ABC  y A’B’C’ tienen sus lados paralelos, son homotéticos. El centro O de la homotecia que transforma uno de ellos en el otro se obtiene uniendo los vértices homólogos.

Sea pues k = , la razón de la homotecia (y también de semejanza) que transforma el triángulo interior en el exterior.

Vamos a comparar las áreas de los triángulos (con la base común  ED) OED y CED.  La razón de sus áreas es la razón de las alturas respectivas OM  y CN, sobre la base común. Y la razón de estas es la de los segmentos OC’ y CC’. Así pues teniendo en cuenta que la homotecia de centro O y razón k transforma el punto C’en C, se tiene:

.     Despejando:

área(CED)=área(OED) · (k—1).

Con los otros dos triángulos en que descompone EDF desde O se obtienen relaciones análogas.

Sumando todos estos términos se obtiene:

(k—1).[ área (OED)+ área (OEF)+ área (OFD)] = área (CED)+ área(AEF)+ área(BFD)

(k—1). Área(DEF) = área (CED)+ área(AEF)+ área(BFD).

Para el área del triángulo ABC tendremos:

área(ABC) = Área(DEF) + (k—1). Área(DEF) = k. Área(DEF)

Por la semejanza  resulta  k² ·área(A’B’C’) = área(ABC), por tanto k ·área(A’B’C’) = Área(DEF)

área(A’B’C’) · área(ABC)= k² · [ área(A’B’C’)]² = [Área(DEF)]², como se pretendía demostrar.

En resumen, las áreas de los tres triángulos  A’B’C’, DEF y ABC, están en progresión geométrica, y la razón de la progresión es la razón de la homotecia entre el primero y el tercero.