Problema 171:

En un triángulo ABC, con triángulos tangenciales externos A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, A₃B₃C₃ y triángulo tangencial interno A₀B₀C₀ (Ver la figura siguiente).

Demostrar que:

Donde: h₁, h₂ y h₃ son alturas y r₀ es el inradio del triángulo A₀B₀C₀.

Demostración: Ver Figura

Hemos establecido como resultado previo en la solución del Problema 169 que

h₁ = h₀₁.

Donde h₀₁ = altura desde el vértice A₀ en el triángulo A₀B₀C₀ y h₁= altura desde el vértice A₁ en el triángulo A₁B₁C₁. De manera similar tenemos que: h₂ = h₀₂ y h₃ = h₀₃, donde: h₀₂ y h₀₃ son alturas desde los vértices B₀ y C₀ en el triángulo A₀B₀C₀.

Luego tenemos en el triángulo A₀B₀C₀:

(ver nota del editor sobre esta fórmula)

Por lo tanto:

                        QED.

Juan Carlos Salazar

caisersal@yahoo.com