Problema 175.-

En un triángulo ABC es AB=AC. D es el punto medio de BC. E es el pie de la perpendicular trazada por D a AC. F es el punto medio de DE.

Demostrar que AF es perpendicular a BE.

Larson, L.C. (1990): Problem-solving through problems.Problem books in Mathematics, Edited by P.R. Halmos. Springer Verlag. (p. 27)

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona).

INTRODUCCION

El dibujo del enunciado lo traduciremos en un primer paso como : Fijados ABC y D con AB=AC y D punto medio de AB, dibujar la recta DE perpendicular a AC y E la intersección de ambas.

Además de F punto medio de ED trazamos:

la recta BG perpendicular a AC y G la intersección de ambas

la recta AH perpendicular a AB y H la intersección con ED

El estudio del dibujo nos muestra que hay rectas por B y rectas por A y que esas rectas se cortan. Estudiar el comportamiento de las intersecciones de las rectas por B con las rectas por A y relacionarlas con la intersección de BE y AF nos permitirá comprobar lo que solicita el enunciado. Intentaremos resolver esas cuestiones en el campo de la GEOMETRIA PROYECTIVA.

Las herramientas “proyectivas” para la resolución de este problema pueden encontrarse en el problema 137 de estas páginas que nos ofrece RICARDO BARROSO CAMPOS:

sol/sol137pedcp.pdf

PLANTEAMIENTO

Observando la figura vemos que por el punto fijo B pasan las rectas BA, BG, BC y BE.

Observando la figura vemos que por el punto fijo A pasan las rectas AH, AC, AD y AF.

Definimos dos homografías entre haces de rectas dando las imágenes de tres rectas:

Demostraremos que h*=g*. Para ello veremos que además de coincidir en las rectas BG y BC, tienen el mismo centro de homografía.

Con el teorema de CHASLES STEINER veremos que la cónica proyectiva descrita por la intersección de los rayos homólogos de la homografía h* es la circunferencia de diámetro BA

Como g*=h* la cónica proyectiva definida por g* es la misma circunferencia de diámetro BA y por lo tanto la intersección de BE y g*(BE) ( o lo que es lo mismo de BE y AF) estará sobre esa circunferencia. Y como BE y AF pasan además por los extremos del diámetro, sabemos que forman un ángulo recto ¡ y por lo tanto son perpendiculares!

DESARROLLO Y RESOLUCION

Del resumen proyectivo del problema 137 recordamos:

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Centro de Homografía

Sea h*: A*→B* una homografía. Si h* es una proyección, para todo par de rectas r y s de A*, la recta que une r ∩ h*(s) con s ∩ h*(r) pasa por un punto fijo de la recta AB; si h* no es una proyección las rectas que unen r ∩ h*(s) con s ∩ h*(r) pasan por el punto h*^-1(AB) ∩ h*(AB).

Este punto es el centro de homografía.

Figure 2  

Para construir el centro de homografía, determinamos RS con R = a ∩ b’ y S = b ∩ a’, determinamos UV con U = b ∩ c’ y V = c ∩ b’. Como las dos rectas RS y UV pasan por el mismo punto fijo, este punto estará en su intersección O = RS ∩ UV.

Determinación de los centros de homografía y de la igualdad de h* y g*

Recordemos:

Para el centro de homografía, determinamos RS y UV con R = a ∩ b’, S = b ∩ a’, U = b ∩ c’ y V = c ∩ b’. Como RS y UV pasan por el mismo punto fijo, este punto estará en su intersección O = RS ∩ UV.

Resultado que podíamos prever porque S es el ortocentro de ABC, V’ es el punto medio de S y G y V está sobre AH y entonces CS, AH y EV’ son paralelas.

Y como

Determinación de Γ la cónica asociada a h*

 Recordemos ahora el teorema de Chasles Steiner:

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Descripción de una cónica. Teorema de Chasles Steiner

...Teorema de Chasles Steiner. Un primer enunciado:

Una homografía entre haces de rectas define una cónica y recíprocamente. Avanzando un poco más, decimos que si C es de la cónica, entonces la biyección AC→BC es una homografía.

Figure 4  

Teorema de Chasles Steiner. Un segundo enunciado

Dados A y B dos puntos distintos del plano proyectivo y la homografía entre haces de rectas concurrentes h: A*→B*; si a es una recta del haz A* entonces el lugar de a ∩ h(a) es una cónica....

18.02

Tangentes a la cónica definida por una homografía.

h(AC) = BC, h(AD) = BD, h(AE) = BE

Por definición de h, h(AB)= BB y h^-1(BA)= AA. ¿Eso que significa? Para responder, usamos el centro de homografía.

Determinación de h(AB)

AB corta a las rectas de B* en B, el otro punto buscado está sobre BO, entonces h(AB) = BO. Pero BO sólo tiene un punto en común con la cónica y ese punto es B.

h(AB) = BO es la tangente a la cónica en el punto B.

Determinación de h^-1(BA)

BA corta a las rectas de A* en A, el otro punto buscado está sobre AO, entonces h^-1(BA) = AO. Pero AO sólo tiene un punto en común con la cónica y ese punto es A.

h^-1(BA) = AO es la tangente a la cónica en el punto A.

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Dual del Teorema de Steiner

Sean a y b dos tangentes a una cónica. La polar p del punto a ∩ b corta a las tangentes a, b en los punto A, B. Una tangente cualquiera distinta de a y de b, corta a a y b en X y X’. La biyección de a sobre b definida por A →a ∩ b, a ∩ b →B, X →X’ es una homografía de eje p.

Recíprocamente, sea h de a sobre b una homografía de rectas proyectivas. El eje p de esta homografía corta a y b en A y B. Entonces para todo punto X de a, la recta Xh(X) envuelve a una cónica tangente en A y B a a y b.

De lo anterior:

Si tenemos cinco puntos entre los cuales no hay tres alineados podemos definir una cónica y sólo una que pase por esos cinco puntos [18.01].

Pero aprovechando la dualidad podemos también determinar la cónica por cuatro puntos y la tangente en uno de ellos, o tres puntos y las tangentes en dos de ellos. etc.

En nuestro caso, tenemos cuatro puntos (A, B, G, D) y una tangente AH. Tenemos pues determinada la cónica Γ.

Conclusión

G está sobre Γ. BG es perpendicular a AG (forman un ángulo recto) y pasan respectivamente por A y B;

D está sobre Γ. BD es perpendicular a AD (forman un ángulo recto) y pasan respectivamente por A y B.

A está sobre Γ. BA es perpendicular a AH=AA (forman un ángulo recto) y pasan respectivamente por A y B.

Vemos claro que la cónica Γ ES UN CÍRCULO definido como el lugar geométrico de los vértices del ángulo recto cuyos lados pasan respectivamente por A y B. Entonces:

c.q.d.