Problema 175

En un triangle isòsceles , , siga D el punt mig del costat

Siga E el  peu de la perpendicular al costat  que passa pel punt D.

Siga F el punt mig del segment .

Proveu que  i  són perpendiculars.

Solució de Ricard Peiró i Estruch profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València)

Solució 1:

Considerem el triangle  amb les següents

coordenades cartesianes:

. Aleshores, .

La recta r que passa pels punts A, C té equació: .

La recta s que passa pel punt D i és perpendicular al costat  té per equació:

.

El punt E és la intersecció de les rectes r, s:

. Aleshores, .

F és el punt mig del segment . Aleshores, .

Calculem les components dels vectors .

Calculem el producte escalar dels vectors :

Aleshores,  són perpendiculars.

Solució 2

Siga .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle :

Els triangles  són semblants, aplicant el teorema de Tales:

. Per tant, ,   .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle :

,       

Efectuem el producte escalar i comprovem que és zero.

 

     

    

Aleshores,  són perpendiculars.