Problema 175.-

En un triángulo ABC es AB=AC. D es el punto medio de BC.

E es el pie de la perpendicular trazada por D a AC. F es el punto medio de DE.

Demostrar que AF es perpendicular a BE.

Larson, L.C. (1990): Problem-solving through problems. Problem books in Mathematics, Edited by P.R. Halmos. Springer Verlag. (p. 27) Gúsiev V. y otros (1989). "Problemas Matemáticos. Geometría". Ed. Mir. Moscou. Problema 455. página 90. (Referencia ofrecida por Ricard Peiró i Estruch profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València), a quien el editor agradece la cita.)

Solución del profesor Saturnino Campo Ruiz, del IES Fray Luis de León de Salamanca

1.- En la figura podemos ver que los triángulos rectángulos NBC y NAH son semejantes por tener su lados perpendiculares.

2.- Si F es el punto medio de DE, G es el punto medio del segmento paralelo HN y por tanto AF es una mediana del triángulo NAH.

3.- PN es paralelo a la base BC, por ello <PNA =<BCA y también <PNA =<DNC por tener el mismo complemento (propiedades del triángulo órtico, problema nº 17). En consecuencia el triángulo DNC es isósceles, y la altura DE es una mediana lo que comporta que BE sea una mediana del triángulo NBC. Como los triángulos NBC y NAH son semejantes y de lados homólogos perpendiculares, también serán perpendiculares las medianas correspondientes BE y AF. c.q.d.