PROBLEMA 176

In memoriam.- Homenaje del profesor Juan Bosco Romero Márquez a Miguel de Guzmán Ozámiz(1936-2004)

Sea un triángulo ABC, rectángulo en A y no isósceles.

Sean los puntos B' y C' los simétricos de B y C, respectivamente, según el eje AH

siendo H el pie de la perpendicular trazada desde A al lado BC.

Construimos los triángulos ABB' y A'CC' siendo A' tal que AB' sea paralelo a A'C, y A' sobre la recta AH.

Sean BF y C'F' las alturas de los vértices B y C' en BAB' y C'AC.

Por F y F' tracemos FG y F'G' perpendiculares de F y F' sobre BC.

Probar que AH es media aritmética de los segmentos FG y F'G'.

Romero, J.B. (2004) Comunicación personal.

SOLUCIÓNSolución de William Rodríguez Chamache. profesor de geometria de la "Academia integral class" Trujillo- Perú :

En el triángulo ABB’ (isósceles)

ÐBAH=ÐHAB’=α  entonces ÐACB’=α

EN triángulo CAC’: como AH es mediatriz  entonces AC’=AC

Luego ÐAC’B=ÐACB’=α entonces ÐC’AB’=90º y como AB’//A’C entonces

Al prolongar El segmento C’A cota al segmento AC formando un ángulo de 90º

Finalmente en el triángulo C’A’C (A es el ortocentro) luego C’, F’ y A’ son colineales.

Levantamos la perpendicular C’N a C’C por C’

En el triángulo rectángulo NC’C se cumple que NA=NC

Del gráfico C’TAB (paralelogramo) entonces TA=C’B luego los  triángulos

TF’A=B’QC (ALA) por lo tanto F’A=QC=S

Luego AQ es una de la s alturas iguales del triángulo isósceles del triángulo B’ABes decir BF=AQ=R

Finalmente los triángulos PNF’ y BFG son congruentes (ALA) entonces PN=FG=n

Por ultimo en el triángulo rectángulo C’NC (AH es base media)

 es decir.  

Prof.: William Rodríguez chamache