Problema 176 extra

Siga un triangle  rectangle  i no isòsceles.

Siga  l’altura sobre la hipotenusa.

Siguen B’, C’ els simètrics de B i C respecte l’eix .

Construïm els triangles  i  essent A’ sobre la recta  tal que  siga paral·lel a .

Siguen  i  les altures dels vèrtexs B i C’ dels triangles , .

Per F i F’ tracem  i  perpendiculars de F i F’ sobre .

Proveu que  és mitjana aritmètica dels segments  i

Romero JB (2004), comunicación personal, en homenaje al profesor Miguel de Guzmán Ozámiz (1936-2004)

Solució de Ricard Peiró i Estruch, profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (4 de junio de 2004) :

Siga

Pel teorema de l’altura d’un triangle rectangle :

    

Aplicant els teoremes dels catet al triangle rectangle :

, 

Aplicant raons trigonomètriques al triangle :

Els triangles  són semblants.

La raó de semblança és

Aleshores,

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

Calculem l’àrea del triangle :

,  

Igualant les àrees i simplificant: